最值定理

概念：

若f(x)∈C[a,b]，则f(x)在[a,b]上一定存在最小值和最大值。

所谓最值定理，简单来说，就是函数在某闭区间上连续，那么它一定在这个区间上有最大最小值。

为什么呢？

首先我们知道函数在此闭区间为连续函数，而对连续函数来说，函数在该区间内不会有间断点。根据函数的定义我们知道，每一个x都有唯一与之对应的f(x)值存在。

用通俗的话来说其实这就是我们要画一条连接两个端点的一条线，同时要保证能一笔画完。

所以我们不管怎么画，不管我们把中间的线画得多高，多低，为了能使函数连续，我们都把线慢慢画低，画高。

而我们画线的想法只是决定了这个最大值最小值点的位置和大小，对这个值存在是完全没有影响的。

f(x)＝sinx的函数图像

f(x)＝lnx的函数图像

比如说函数f(x)=sin(x)，已知函数sinx是连续函数，如果x∈(0,π)，那么f(x)很显然有最大最小值，而且不管我们取何种区间，我们都可以发现其始终存在着最大值最小值。

同样我们也可以把这个最值往上、往下、往左、往右拉，只要我们愿意，我们也可以把它拉出银河系，但这个值它肯定还是存在的。

所以说不管是什么函数，只要它在闭区间连续，那就必定有最大最小值。

介值定理

概念：

若f(x)∈C[a,b]，对任意的η∈[m,M]，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)＝η。

这个定理其实是最好理解的，就是最基本的函数定义。把这句话换一种方式说出来就能很好理解其含义了。

首先f(x)是连续函数，我们可以知道函数f(x)在其定义域内，任意取一个x都有一个唯一与之对应的f(x)存在， f (x)所组成的集合我们就叫做值域。用我们高中数学的话来说，其实就是函数的映射。

函数的映射

我们可以把A集合看成定义域，B集合看成值域，对于函数f(x)来说可以是一对一或者多对一。而介值定理定义中的η∈[m,M]的意思也就是说在B集合，也就是值域中任取一个数，根据这个映射的原理，我们可以知道，都可以在A集合中找到对应的数，可能是一个，也可能是几个，很多个，而ξ∈[a,b]也就是说能在A集合中找到对应数。而我们此处的函数关系也就是两个集合间的映射条件。

以上解释仅为个人理解，如有错误请指出。